Berechnung des Abstands paralleler Ebenen
Hessesche Normalform
Mit der Hesseschen Normalform lässt sich der Abstand zweier paralleler Ebenen direkt bestimmen. Die Hessesche Normalform einer Ebene lautet:
``` ax + by + cz + d = 0 ```wobei (a, b, c) ein Normalenvektor auf die Ebene ist und d der Abstand des Ursprungs von der Ebene ist. Für zwei parallele Ebenen mit folgenden Hesseschen Normalformen gilt:
``` E1: a1x + b1y + c1z + d1 = 0 E2: a2x + b2y + c2z + d2 = 0 ```Der Abstand zwischen den beiden Ebenen ist dann:
``` d = |d1 - d2| / sqrt(a1^2 + b1^2 + c1^2) ```Hilfsgerade mit Lotfußpunkt
Alternativ kann der Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen auch mit Hilfe einer Hilfsgerade mit Lotfußpunkt bestimmt werden:
- Konstruiere eine Gerade g, die parallel zu beiden Ebenen verläuft.
- Bestimme den Lotfußpunkt F der Geraden g auf eine der beiden Ebenen.
- Der Abstand zwischen den Ebenen ist dann der Abstand zwischen F und der anderen Ebene.
Beispiel
Berechne den Abstand zwischen den folgenden beiden parallelen Ebenen:
``` E1: 2x + 3y + 4z - 5 = 0 E2: 2x + 3y + 4z + 7 = 0 ```Hessesche Normalform
Die Hessesche Normalform von E1 lautet:
``` 2x + 3y + 4z - 5 = 0 ```und die Hessesche Normalform von E2 lautet:
``` 2x + 3y + 4z + 7 = 0 ```Der Abstand zwischen den beiden Ebenen ist dann:
``` d = |d1 - d2| / sqrt(a1^2 + b1^2 + c1^2) d = |-5 - 7| / sqrt(2^2 + 3^2 + 4^2) d = 12 / sqrt(29) d ≈ 2,68 ```Hilfsgerade mit Lotfußpunkt
Konstruiere eine Gerade g, die parallel zu beiden Ebenen verläuft, z.B.:
``` g: x = y = z + 1 ```Bestimme den Lotfußpunkt F der Geraden g auf E1:
``` E1: 2x + 3y + 4z - 5 = 0 ```Einsetzen von g in E1 ergibt:
``` 2(z + 1) + 3(z + 1) + 4z - 5 = 0 9z = 2 z = 2/9 ```Also ist F = (1/9, 1/9, 2/9).
Der Abstand zwischen den Ebenen ist dann der Abstand zwischen F und E2:
``` d = sqrt((2 - 1/9)^2 + (3 - 1/9)^2 + (4 - 2/9)^2) d ≈ 2,68 ```
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